题目内容
6．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系？请说明理由．探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A．
探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
分析 （1）利用角平分线的性质得出∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），进一步利用三角形的内角和得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠BOC=180°-（∠1+∠2），进一步整理得出答案；
（2）利用角平分线的性质与外角的性质得出∠2=$\frac{1}{2}$∠A+∠1，∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
解答 解：如图，
通过分析发现探究2结论：∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2），
=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A），
=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
探究2结论：∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A，
理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2-∠1=$\frac{1}{2}$∠A+∠1-∠1=$\frac{1}{2}$∠A；
探究3结论：∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
理由：∵∠OBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
∴∠BOC=180°-∠0BC-∠OCB，
=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
=180°-$\frac{1}{2}$∠A-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC+∠ACB），
∴∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
点评 本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．
如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5dm、3dm和1dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是13dm．
如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且DE∥AC，过点E作EF⊥DE，交CB的延长线于点F，若BD=2，则EF2=12．| A． | 相等的角是直角 | B． | 经过两点有且只有一条直线 | ||
| C． | 两直线平行，同位角互补 | D． | 不相交的两条线段互相平行 |
