Question

17．已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设B（-1，y）．
（1）如图①，若∠AOB=90°，求y的值；
（2）如图②，若有AO=AB，则y的值为±2$\sqrt{6}$
（3）如图③，若在x轴上有一点C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC垂足为点C；若AB与y轴正半轴的所夹锐角为α，则tanα是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出直线OA的解析式，由∠AOB=90°，进而得出直线OB的解析式，将x=-1代入即可得出结论；
（2）利用OA=OB建立方程求解即可得出结论；
（3）先判断出△ACF∽CBE，进而得出y=$\frac{1}{4}$（-x²+2x+3），进而求出AG=$\frac{1}{4}$[（x-1）²+12]，再用tanα=tan∠ABG=$\frac{16}{（x-1）^{2}+12}$，
即可得出结论．

解答 解：（1）设直线OA的解析式为y=kx，
∵点A（3，4），
∴4=3k，
∴k=$\frac{4}{3}$，
∴直线OA的解析式为y=$\frac{4}{3}$x，
∵∠AOB=90°，
∴直线OB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x，
当x=-1时，y=$\frac{3}{4}$，

（2）∵A（3，4），B（-1，y），
∴OA²=25，OB²=1+y²，
∵OA=OB，
∴1+y²=25，
∴y=-2$\sqrt{6}$或y=2$\sqrt{6}$，

（3）如图，过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E，
∴∠AFC=∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∵BC⊥AC，
∴∠BCE+∠ACF=90°，
∴∠CBE=∠ACF，
∴△ACF∽△CBE，
∴$\frac{AF}{CE}=\frac{CF}{BE}$，
∵A（3，4），C（x，0），B（-1，y），且-1＜x＜3，
∴AF=4，CF=3-x，CE=x+1，BE=y，
∴$\frac{4}{x+1}=\frac{3-x}{y}$，
∴y=$\frac{1}{4}$（x+1）（3-x）=$\frac{1}{4}$（-x²+2x+3），
过点A作AG⊥BE，
∴AG=4，BG=|4-y|=|4-$\frac{1}{4}$（-x²+2x+3）|=$\frac{1}{4}$|16-（-x²+2x+3）|=$\frac{1}{4}$|x²-2x+13|=$\frac{1}{4}$|（x-1）²+13|=$\frac{1}{4}$[（x-1）²+12]，
∴tan∠ABG=$\frac{AG}{BG}$=$\frac{4}{\frac{1}{4}[（x-1）^{2}+12]}$=$\frac{16}{（x-1）^{2}+12}$，
∵BE∥y轴，
∴α=∠ABG，
∴tanα=tan∠ABG=$\frac{16}{（x-1）^{2}+12}$，
∵-1＜x＜3，
∴当x=1时，（x-1）²+12最小，即：$\frac{16}{（x-1）^{2}+12}$最大，
∴[（x-1）²+12]最小值为12，
∴tanα最大=$\frac{16}{12}$=$\frac{4}{3}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，相似三角形的判定和性质锐角三角函数，解（1）的关键是求出直线OB的解析式，解（2）的关键是掌握两点间的距离公式，解（3）的关键是得出x，y的关系式，是一道基础题目．