Question

8．如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，点F为弦AC的中点，连接OF交CD于点G，直线AG交⊙O于点N，交过点D的⊙O的切线于点M，
（1）求证：MD=MG；
（2）若sin∠NAB=$\frac{1}{3}$，求sin N的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，OC，由DM是⊙O的切线，得到∠MDG+∠ODG=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ODG=∠OCG，由垂径定理得到AG=CG，根据全等三角形的性质得到∠OAG=∠OCG=∠ODG，根据等腰三形的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件设OC=a，OC=OA=3a，得到AE=2a，由三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）连接OD，OC，
∵DM是⊙O的切线，
∴∠MDG+∠ODG=90°，
∵OD=OC，
∴∠ODG=∠OCG，
∵F为弦AC的中点，OA=OC，
∴OF⊥AC，
∴AG=CG，
在△OAG与△OCA中，$\left\{\begin{array}{l}{AO=OC}\\{OG=OG}\\{AG=CG}\end{array}\right.$，
∴△OAG≌△OCA，
∴∠OAG=∠OCG=∠ODG，
∵∠OAG+∠AGD=90°，
∴∠AGD=∠MDG，
∴DM=MG；
（2）∵∠NAB=∠OCE，
∴sin∠OCE=sin∠NAB=$\frac{1}{3}$，
设OC=a，OC=OA=3a，
∴AE=2a，
∴EC=2$\sqrt{2}$a，
∴AC=2$\sqrt{3}$a，
∴sin∠ACD=$\frac{2a}{2\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sinN=sin∠ACD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．