Question

设数列{a_n}满足：a₁=a₂=1，a_n=7a_n-1-a_n-2，n≥3．证明：对于每个n∈N^*，a_n+a_n+1+2皆为完全平方数．

Answer 1

考点：完全平方数

专题：

分析：首先易求得数列开初的一些项为：1，1，6，41，281，1926，…，注意到，a1+a2+2=22，a2+a3+2=32，a3+a4+2=72，a4+a5+2=182，…，则构作数列{x_n}：x₁=2，x₂=3，x_n=3x_n-1-x_n-2，n≥3，则对每个n∈N^*，x_n为正整数，首先证明则f(k)-f(k-1)=(xkxk+2-

x

2 k+1

)-(xk-1xk+1-

x

2 k

)=3x_kx_k+1-3x_k+1x_k=0，进而得出a_n+1+a_n+2+2=（7a_n-a_n-1）+（7a_n+1-a_n）+2=7（a_n+a_n+1+2）-（a_n-1+a_n+2）-10=7

x

2 n

-

x

2 n-1

-10=

x

2 n+1

即可得出答案．

解答：证明：易求得数列开初的一些项为：1，1，6，41，281，1926，…，
注意到，a1+a2+2=22，a2+a3+2=32，a3+a4+2=72，a4+a5+2=182，…，
构作数列{x_n}：x₁=2，x₂=3，x_n=3x_n-1-x_n-2，n≥3，则对每个n∈N^*，x_n为正整数．
我们来证明：对于每个n∈N^*，皆有：an+an+1+2=

x

2 n

．
引理：数列{x_n}满足：对于每个k∈N^*，xkxk+2-

x

2 k+1

=5．
引理证明：令f(k)=xkxk+2-

x

2 k+1

，
则f(k)-f(k-1)=(xkxk+2-

x

2 k+1

)-(xk-1xk+1-

x

2 k

)
=(xkxk+2+

x

2 k

)-(

x

2 k+1

+xk-1xk+1)
=x_k（x_k+2+x_k）-x_k+1（x_k+1+x_k-1）
=3x_kx_k+1-3x_k+1x_k=0．
所以f（k）=f（k-1），于是f(k)=f(k-1)=f(k-2)=…=f(1)=x1x3-

x

2 2

=5．
回到本题，对n归纳，据数列{a_n}的定义，a1+a2+2=4=

x

2 1

， a2+a3+2=9=

x

2 2

，
若结论直至n（n≥2）皆已成立，则对于n+1，
有a_n+1+a_n+2+2=（7a_n-a_n-1）+（7a_n+1-a_n）+2
=7（a_n+a_n+1+2）-（a_n-1+a_n+2）-10
=7

x

2 n

-

x

2 n-1

-10
=(3xn)2-

x

2 n-1

-2

x

2 n

-10
=(3xn-xn-1)(3xn+xn-1)-2

x

2 n

-10
=xn+1(xn+1+2xn-1)-2

x

2 n

-10
=

x

2 n+1

+2(xn-1xn+1-

x

2 n

-5)
=

x

2 n+1

．
即在n+1时结论也成立．
故本题得证．

点评：此题主要考查了完全平方数，首先证明an+an+1+2=

x

2 n

，进而得出a_n+1+a_n+2+2=

x

2 n+1

是解题关键．