Question

9．如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．∠ABC是直角，∠C=60°，请你判断并写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 PE=PD，理由为：过P作PF垂直于AC，PG垂直于BC，由∠PDG为△ADC的一个外角，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，得到∠PDG=∠C+∠CAD，又∠CAB=30°，AD为∠CAB的平分线得到∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CAB，求出∠PDG的度数，同理∠PEF是△ABE的一个外角，即可求出∠PEF的度数，发现两角相等，再由垂直得到一对直角相等，根据角平分线的性质可知PF=PG，根据“AAS”即可得到三角形PEF与三角形PDG全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．

解答 PE=PD．
证明：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠CAB=30°，
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠CAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠CAB=15°，∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分别为F、G，
则∠PFE=∠PGD=90°，
∵∠PDG为△ADC的一个外角，
∴∠PDG=∠C+∠CAD=60°+$\frac{1}{2}$∠CAB=60°+15°=75°，
∵∠PEF是△ABE的一个外角，
∴∠PEF=∠CAB+∠ABE=30°+$\frac{1}{2}$∠CBA=30°+45°=75°，
∴∠PEF=∠PDG，
∵PF⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PFE=∠PGD=90°，
根据角平分线的性质可知：PF=PG，
在△PFE和△PGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFE=∠PGD}\\{∠PEF=∠PDG}\\{PF=PG}\end{array}\right.$
∴△PFE≌△PGD，
∴PE=PD．

点评 此题综合考查了角平分线性质定理、全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质．遇到角平分线常经过角平分线上的点作角两边的垂线，得到两垂线段的长相等；本题先实验猜想，再探索证明，其目的是考查学生提出问题，解决问题的能力．