Question

1．下列等式：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$
将以上三个等式两边分别相加得
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
（1）猜想：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）直接写出下列各式的结果
①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{2013×2014}$=$\frac{2013}{2014}$；
②$\frac{1}{100×101}$+$\frac{1}{101×102}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n-99}{100（n+1）}$．
（3）探究并计算：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2012×2014}$．

Answer 1

分析 （1）根据已知等式猜想即可得到结果；
（2）原式各项利用猜想的结论计算即可得到结果；
（3）原式利用拆项法变形，计算即可得到结果．

解答 解：（1）猜想：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）①原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2014}$=1-$\frac{1}{2014}$=$\frac{2013}{2014}$；
②原式=$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$+$\frac{1}{101}$-$\frac{1}{102}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n-99}{100（n+1）}$；
（3）原式=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{2012}$-$\frac{1}{2014}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2014}$）=$\frac{503}{4028}$．
故答案为：（1）$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；（2）①$\frac{2013}{2014}$；②$\frac{n-99}{100（n+1）}$

点评 此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．