Question

18．已知⊙O的面积2π，则其内接正三角形的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可．

解答 解：如图所示，
连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
∵⊙O的面积为2π
∴⊙O的半径为$\sqrt{2}$
∵△ABC为正三角形，
∴∠BOC=$\frac{360°}{3}$=120°，∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°，OB=$\sqrt{2}$，
∴BD=OB•sin∠BOD=$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴BC=2BD=$\sqrt{6}$，
∴OD=OB•cos∠BOD=$\sqrt{2}$•cos60°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△BOC的面积=$\frac{1}{2}$•BC•OD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△ABC的面积=3S_△BOC=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．