Question

4．如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，半径OA=4，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由OB=OD得出∠B=∠ODB．根据AB=AC得出∠B=∠C．故可得出∠ODB=∠C，所以OD∥AC．由DF⊥AC，得出OD⊥DF，故可得出结论；
（2）连结BE，AD，根据圆周角定理得出∠ADB=90°，∠AEB=90°．再由AB=AC，可知∠ABC=∠C，BD=CD．在Rt△ABD 中，利用锐角三角函数的定义得出AD及BD的长，同理可得出BE的长，由勾股定理求出CE的长，进而可得出结论．

解答 （1）证明：连接OD．
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴∠ODB=∠C．
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF．
∴DF是⊙O的切线；

（2）解：连结BE，AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，∠AEB=90°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，BD=CD．
在Rt△ABD 中，
∵OA=4，sinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AD}{8}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴AD=2$\sqrt{3}$，BD=2$\sqrt{13}$，
∴BC=4$\sqrt{13}$．
在Rt△BCE 中，
∵sinC=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，即$\frac{BE}{4\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴BE=$\sqrt{39}$，
∴CE=$\sqrt{{BC}^{2}-{BE}^{2}}$=$\sqrt{{（4\sqrt{13}）}^{2}-{（\sqrt{39}）}^{2}}$=13，
∴AE=CE-AC=5．

点评 本题考查的是切线的判定定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．