Question

19．如图，直线AB经过⊙O上点C，并且OA=OB，CA=CB．
（1）求证：直线AB是⊙O切线．
（2）OA、OB分别交⊙O于D、E，延长线AO交⊙O于点F，连接EF、FC．若AB=4，tan∠CFE=$\frac{1}{3}$，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，证明OC⊥AB即可；
（2）先证明∠AFC=∠CFE，连接CD，可证明△ADC∽△ACF，利用相似三角形的性质可求得$\frac{AD}{AC}$=$\frac{CD}{CF}$，则可求得AD．

解答 （1）证明：
如图1，连接OC，

∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB，且OC为圆的半径，
∴AB是圆的切线；
（2）解：如图2，连接OC、CD，

由（1）可知∠COD=∠EOC，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{CE}$，
∴∠DFC=∠CFE，
∵DE为直径，
∴∠DCF为直角三角形，
∴$\frac{DC}{CF}$=tan∠DFC=tan∠CFE=$\frac{1}{3}$，
由（1）可知AC为⊙O的切线，
∴∠ACD=∠AFC，且∠A=∠A，
∴△ACD∽△ACF，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DC}{CF}$=$\frac{1}{3}$，
∵AB=4，
∴AC=2，
∴$\frac{AD}{2}$=$\frac{1}{3}$，解得AD=$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查切线的判定及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．在（2）中把三角函数值化为线段的比是解题的关键．