Question

6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AB=BD，BD交AC于P，过B作BE∥AD交AC和延长线于E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若AC=8，PC=1，求tan∠CBD的值．

Answer 1

分析 （1）连接OB并延长交AD于F，连接OD，根据全等三角形的性质得到∠ABO=∠DBO，推出BE∥AD，证得∠OBE=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知条件得到CD∥BF，根据平行线分线段成比例定理得到CD=$\frac{4}{3}$，根据勾股定理得到AD=$\frac{4}{3}$$\sqrt{35}$，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）连接OB并延长交AD于F，连接OD，
在△ABO与△DBO中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{OB=OB}\\{OA=OD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DBO，
∴∠ABO=∠DBO，
∴BF⊥AD，
∴∠BDF+∠OBD=90°，
∵BE∥AD，
∴∠EBD=∠BDF，∴∠EBD+∠OBD=90°，
即∠OBE=90°，
∴BE是⊙O的切线；
（2）∵BF⊥AD，CD⊥AD，
∴CD∥BF，
∴$\frac{CD}{BO}=\frac{CP}{PO}=\frac{1}{3}$，∴CD=$\frac{4}{3}$，∴AD=$\sqrt{{8}^{2}+（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{35}$，∴tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{\sqrt{35}}{35}$，
∵∠CBD=∠CAD，
∴tan∠CBD=$\frac{\sqrt{35}}{35}$．

点评 本题考查了切线的判定，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．