Question

3．如图，在Rt△ABC中，AB=1，∠ACB=30°，点D是AC的中点，⊙O是△ABC的内切圆，以点D为圆心，以AD的长为半径作$\widehat{AB}$，则图中阴影部分的面积是$\frac{3\sqrt{3}-5}{6}$π+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 连接BD，解直角三角形得到AC=2，BC=$\sqrt{3}$，由点D是AC的中点，得到AD=BD=AB=CD，求得∠ADB=60°，然后根据图形的面积公式即可得到结论．

解答 解：连接BD，在Rt△ABC中，AB=1，∠ACB=30°，
∴AC=2，BC=$\sqrt{3}$，
∵点D是AC的中点，
∴AD=BD=AB=CD，
∴∠ADB=60°，
∴⊙O的半径=$\frac{1+\sqrt{3}-2}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴S_阴影=S_扇形ABD-S_△ABD+S_△ABC-S_圆O=$\frac{60•π×{1}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$-（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）²π=$\frac{3\sqrt{3}-5}{6}$π+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}-5}{6}$π+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了扇形的面积，解直角三角形，三角形的内切圆与内心，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．