Question

如图，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q．
当CQ=

1

3

CE时，EP+BP=

 

；
当CQ=

1

n

CE时，EP+BP=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=

1

3

CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠M=∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBM=∠CBM，
∴∠M=∠PBM，
∴BP=PM，
∴EP+BP=EP+PM=EM，
当CQ=

1

3

CE时，则EQ=2CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴

EM

BC

=

EQ

CQ

=2，
∴EM=2BC=2×6=12，
即EP+BP=12；
当CQ=

1

n

CE时，则EQ=（n-1）CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴

EM

BC

=

EQ

CQ

=n-1，
∴EM=（n-1）BC=6（n-1），即EP+BP=6（n-1）；
故答案为：12； 6（n-1）．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．