Question

如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周从D运动到点C时，tan∠QCN的最大值为

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：利用矩形的性质得出OQ=

1

2

MN=

1

2

OP=1，再利用当CQ与此圆相切时，∠QCN最大，此时，在直角三角形CQ′O中，进而求出即可．

解答：解：连接OQ，
∵MN=OP（矩形对角线相等），⊙O的半径为2，
∴OQ=

1

2

MN=

1

2

OP=1，
可得点Q的运动轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，当CQ与此圆相切时，
∠QCN最大，则tan∠QCN的最大值，
此时，在直角三角形CQ′O中，
∠CQ′O=90°，OQ′=1，CO=2，
所以 此时∠Q′CN=30°，
tan∠QCN最大值为：

3

3

．
故答案为：

3

3

．

点评：此题主要考查了矩形的性质以及锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数值等知识，得出当CQ与此圆相切时，∠QCN最大进而得出是解题关键．