Question

如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AM是BC边的中线，AN是∠BAC的平分线，过点C作CD⊥AN于点D，连接MD，则下列四个结论：
①∠MDN=∠DCM；②DM∥AB；③CD•AB=AC•BN；④MN•MC=

1

4

（AB-AC）²．
其中正确的结论有

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：

分析：延长CD交AB于点E，可得DM是△CBE的中位线，得出DM∥AB，故②正确；
利用DM∥AB及AN是∠BAC的平分线，可证得①是正确的；
利用△MDN∽△MCD，可得出DM²=MN•MC，运用中位线定理得出线段关系即可得出④正确；
利用三角函数得出③错误．进而得出答案．

解答：证明：如图，延长CD交AB于点E，

∵AN是∠BAC的平分线，CD⊥AN于点D，
∴AD垂直平分CE，
∵AM是BC边的中线，
∴DM是△CBE的中位线，
∴DM∥AB，故②正确
∴∠BAN=∠MDN，
∵AN是∠BAC的平分线，
∴∠CAN=∠BAN，
∴∠CAN=∠MDN，
∵∠DCM+∠ANC=90°，∠CAN+∠ANC=90°，
∴∠DCM=∠CAN，
∴∠MDN=∠DCM，故①正确．
∴△MDN∽△MCD，
∴

DM

MC

=

MN

DM

，
∴DM²=MN•MC，
∵DM=

1

2

BE=

1

2

（AB-AE）
∵AC=AE，
∴DM=

1

2

BE=

1

2

（AB-AC）
∴DM²=

1

4

（AB-AC）²．
∴MN•MC=

1

4

（AB-AC）²．故④正确．
∵sin∠CAN=

CD

AC

，
sin∠BAN≠

BN

AB

，
∵∠CAN=∠BAN
∴

CD

AC

≠

BN

AB

，
即CD•AB≠AC•BN；故③错误．
故正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及三角形中位线定理，解题的关键是能正确的作出辅助线，利用三角形中位线求解．