Question

20．平行四边形ABCD，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内点E处．
（1）求证：BF=EF．
（2）如果AE恰好过BC的中点F，连接BE，判断四边形ABEC的形状，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形，得到AD=BC，AD∥BC，于是得到∠DAC=∠ACB，根据将△ACD沿对角线AC折叠得到△ACE，于是得到AE=AD，∠DAC=∠EAC，然后根据等量代换得到结果；
（2）由（1）证得：AF=CF，BF=EF，根据已知条件BF=CF，于是得到BF=AF=CF=EF，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵将△ACD沿对角线AC折叠得到△ACE，
∴AE=AD，∠DAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AF=CF，
∴BF=BC-CF，EF=AE-AF，
∴BF=EF；

（2）解：四边形ABEC是矩形，
由（1）证得：AF=CF，BF=EF，
∵BF=CF，
∴BF=AF=CF=EF，
∴四边形ABEC是矩形．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．