Question

5．如图，在矩形AOCD中，A（0，15），E在AD上，AE=9，连接CE、OE，将矩形AOCD沿OE折叠，点A恰好落在CE上A′处，求A′的坐标．

Answer 1

分析 由题意易证得△A′OC≌△DCE（AAS），OC=AD，A′O=AO=CD=15cm，设A′C=xcm，在Rt△A′OC中，由勾股定理可得OC²=A′O²+A′C²，即可得方程，解方程得出A′C，作A′F⊥OC于F，由△A′OC的面积求出A′F，再由勾股定理求出OF，即可得出点A′的坐标．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CD=15cm，∠A=∠D=90°，AD∥OC，AD=OC，
∴∠DEC=∠A′CO，
由折叠的性质，得：A′O=AO=15cm，∠OA′E=∠A=90°，
∴A′O=CD，∠OA′C=∠D=90°，
在△A′OC和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OA′C=∠D}&{\;}\\{∠A′CO=∠DEC}&{\;}\\{A′O=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△A′OC≌△DCE（AAS），
∴A′C=DE，
设A′C=xcm，则OC=AD=DE+AE=x+9（cm），
在Rt△A′OC中，OC²=A′O²+A′C²，
即（x+9）²=x²+15²，
解得：x=8，
∴A′C=8cm，OC=8+9=17，
作A′F⊥OC于F，如图所示：
∵Rt△A′OC的面积=$\frac{1}{2}$OC•A′F=$\frac{1}{2}$OA′•A′C，
∴A′F=$\frac{15×8}{17}$=$\frac{120}{17}$，
∴OF=$\sqrt{1{5}^{2}-（\frac{120}{17}）^{2}}$=$\frac{225}{17}$，
∴点A′的坐标为（$\frac{225}{17}$，$\frac{120}{17}$）．

点评 此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．