Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，连结DE、BE，且
∠C=∠BED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OA=2

5

，AD=8，求AC的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理

专题：

分析：（1）首先证明∠BAD=∠C，然后证明∠C+∠AOC=90°，即可证得∠OAC=90°，即OA⊥AC，从而得证；
（2）根据∠OAF=∠C，则这两个角的正弦值相等，即可列出比例式求得AC的长．

解答：解：（1）证明：∵∠BED=∠BAD，∠C=∠BED
∴∠BAD=∠C 
∵OC⊥AD于点F，
∴∠BAD+∠AOC=90°
∴∠C+∠AOC=90°
∴∠OAC=90°
∴OA⊥AC
∴AC是⊙O的切线．
（2）∵OC⊥AD于点F，∴AF=

1

2

AD=4
Rt△OAF中，OF=

OA2-AF2

=2，
∵∠OAF=∠C
∴sin∠OAF=sin∠C，
∴

OF

OA

=

AF

AC

即 AC=

OA•AF

OF

=4

5

．

点评：本题考查了切线的判定方法，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．