Question

17．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，点C在线段OB上移动（不包括端点O、B），以AC为直径作半圆，弧AB与半圆AC围成的阴影部分面积为S₁，弧AB与半圆AC及线段BC围成的阴影部分面积为S₂，记S=S₁+S₂．则S的取值范围是0.3925＜S＜0.5．

Answer 1

分析 根据题意，S₁的范围是由0逐渐增大到点C与点B重合时的面积，即 S_半圆AC-（S_扇-S_△AOB），S₂的范围是由S_扇-S_半圆AO到0，S的范围即S₁+S₂的取值范围，据此解答即可．

解答 解：S₁的范围是由0逐渐增大到点C与点B重合时的面积，
当点C与点B重合时，
$AC=\sqrt{{AO}^{2}{+BO}^{2}}$
=$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}$
=$\sqrt{2}$
∴S_半圆AC-（S_扇-S_△AOB）
=$\frac{1}{2}×$3.14${×（\frac{AC}{2}）}^{2}$-（$\frac{1}{4}×3.14{×1}^{2}$-$\frac{1}{2}×1×1$）
=1.57${×（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}$-（0.785-0.5）
=0.785-0.285
=0.5

S₂的范围是由S_扇-S_半圆AO到0，
S_扇-S_半圆AO
=$\frac{1}{4}×3.14{×1}^{2}$-$\frac{1}{2}×3.14{×（\frac{1}{2}）}^{2}$
=0.785-0.3925
=0.3925
∵S=S₁+S₂，
∴S的取值范围是：
0.3925＜S＜0.5．
故答案为：0.3925＜S＜0.5．

点评 （1）此题主要考查了扇形面积的计算，要熟练掌握，解答此题的关键是要判断出：①S₁的范围是由0逐渐增大到点C与点B重合时的面积；②S₂的范围是由S_扇-S_半圆AO到0．
（2）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握三角形的面积公式．