Question

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=ax²+bx+1（a≠0）的图象与x轴的正半轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C、P（1，-1），在△PAC中，∠P=90°，PA=PC．

（1）求点A的坐标；
（2）将△PAC沿AC翻折，若点P的对应点Q恰好落在函数y=ax²+bx+1（a≠0）的图象上，求a与b的值．

Answer 1

分析 （1）过点P作x轴的平行线交y轴于D，作AE⊥PD于E，证明△PCD≌△APE，得到PE=CD=2，求出DE的长，求出点A的坐标；
（2）作PG⊥y轴于G，作QF⊥y轴于F，根据翻折变换的性质证明△PCG≌△QCF，求出点Q的坐标，运用待定系数法列出方程组，求出a与b的值．

解答 解：（1）如图1，过点P作x轴的平行线交y轴于D，作AE⊥PD于E，
∴∠CDP=∠PEA=90°，
∵∠P=90°，
∴∠PCD=∠APE，
在△PCD和△APE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCD=∠APE}\\{∠CDP=∠PEA}\\{PC=PA}\end{array}\right.$，
∴△PCD≌△APE，
∴PE=CD=2，
∴DE=DP+PE=3，
∴点A的坐标为（0，3）；
（2）如图2，作PG⊥y轴于G，作QF⊥y轴于F，
∵∠P=90°，PA=PC，
∴△APC为等腰直角三角形，
∴∠PCA=45°，
由翻折变换的性质可知，∠PCQ=90°，CP=CQ，
∴△PCG≌△QCF，
∴QF=CG=2，CF=GP=1，
∴点Q的坐标为（2，2），
则$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+1=2}\\{9a+3b+1=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{6}}\\{b=\frac{13}{6}}\end{array}\right.$，
答：a的值是-$\frac{5}{6}$，b的值是$\frac{13}{6}$．

点评 本题考查的是二次函数的图形和性质的应用，掌握翻折变换的性质、三角形全等的判定定理和性质定理、灵活运用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．