定义:把四边形的某些边向两方延长.其他各边有不在延长所得直线的同一旁.这样的四边形叫做凹四边形．如图1.四边形ABCD为凹四边形．(1)性质探究:请完成凹四边形一个性质的证明．已知:如图2.四边形ABCD是凹四边形求证:∠BCD=∠B+∠A+∠D(2)性质应用:①如图3.在凹四边形ABCD中.∠BAD与∠BCD两角的角平分线交于点E.若∠ADC=140� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．
（1）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．
已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形
求证：∠BCD=∠B+∠A+∠D
（2）性质应用：
①如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD与∠BCD两角的角平分线交于点E，
若∠ADC=140°，∠AEC=100°，求∠B的度数．
②如图4，已知∠BOC=58°，x=∠A+∠B，y=∠C+∠D+∠E+∠F，求（x+y）的度数．

分析（1）延长BC交AD于点M，根据三角形的外角的性质即可解决问题．
（2）①利用（2）中结论如图3中，设∠B=x，∠ECB=∠ECD=α，∠EAD=∠EAB=β，列出方程组即可解决问题．
②根据三角形的外角的性质即可得到结论．

解答解：（1）延长BC交AD于点M

∵∠BCD是△CDM的外角，
∴∠BCD=∠CMD+∠D，
同理∠CD是△ABM的外角，
∴∠CMD=∠A+∠B，
∴∠BCD=∠A+∠B+∠D；

（2）①如图3中，设∠B=x，∠ECB=∠ECD=α，∠EAD=∠EAB=β．

由（2）可知，$\left\{\begin{array}{l}{140=102+α+β}\\{102=x+α+β}\end{array}\right.$，
解得x=64°
∴∠B=64°；
②如图③，∵∠BOC=58°，
∴∠COE=122°，
∴∠A+∠C+∠E=∠COE=122°，
∴∠B+∠D+∠F=∠COE=122°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=122°+122°=244°．
故答案为：244°．