Question

19．已知直线y=$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿C-B-A向点A运动（不与C、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t=4秒时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出点A、点B的坐标，从而求得OA，OB的长度，利用tan$∠BAO=\frac{BO}{AO}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$，得到∠BAO=60°，所以△ABC是等边三角形，又OC=OA=4，确定C点坐标﹙4，0﹚，利用待定系数法求解析式，即可解答；
（2）分两种情况进行解答：当P点在点A、O之间运动时，作QH⊥x轴．则AP=t，CQ=2t，因为∠ACB=60°，所以QH=CQ•sin$∠ACB=2t•\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}t$，所以S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QH=$\frac{1}{2}$t•$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²（0＜t≤4），同理可得S_△APQ=$\frac{1}{2}$t•﹙8$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t﹚=-$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+4\sqrt{3}t$﹙4≤t＜8﹚．
（3）存在，（4，0），（-4，8）（-4，-8）（-4，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$）．

解答 解：∵直线y=$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点坐标（-4﹐0），B点坐标（0﹐4$\sqrt{3}$﹚
∵OA=4  OB=4$\sqrt{3}$，
∴tan$∠BAO=\frac{BO}{AO}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$，
∴∠BAO=60°
∵∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形
∵OC=OA=4
∴C点坐标﹙4，0﹚
设直线BC解析式为y=kx﹢b，
把B点坐标（0﹐4$\sqrt{3}$﹚，C点坐标﹙4，0﹚代入y=kx+b得；
$\left\{\begin{array}{l}{b=4\sqrt{3}}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$．
﹙2﹚如图1，当P点在点A、O之间运动时，作QH⊥x轴．

则AP=t，CQ=2t，
∵∠ACB=60°，
∴QH=CQ•sin$∠ACB=2t•\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}t$
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QH=$\frac{1}{2}$t•$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²（0＜t≤4），
如图2，当P点在点O、C之间运动时，

同理可得S_△APQ=$\frac{1}{2}$t•﹙8$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t﹚=-$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+4\sqrt{3}t$﹙4≤t＜8﹚．
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}（0＜t≤4）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+4\sqrt{3}（4≤t＜8）}\end{array}\right.$
（3）存在，（4，0），（-4，8）（-4，-8）（-4，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，等边三角形的性质，三角形的面积公式、以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法、分类讨论是解本题的关键．