Question

15．在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点，已知二次函数y=-$\frac{{x}^{2}}{3}$+4和反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象如图所示，它们围成的阴影部分（包括边界）的整点个数为5，则k的取值范围是（　　）

• A． 1＜k≤2
• B． 1＜k＜2
• C． 0＜k≤2
• D． 1≤k≤2

Answer 1

分析 根据二次函数的解析式判断在第一象限内在二次函数图象下方或图象上的整点的个数，并写出它们的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与反比例函数图象围成的部分（包括边界）的整点个数为5，即可得出k的取值范围．

解答 解：∵当x=1时，y=-$\frac{1}{3}$+4=$\frac{11}{3}$＞3；当x=2时，y=-$\frac{4}{3}$+4=$\frac{8}{3}$＞2；当x=3时，y=-3+4=1．
∴再第一象限内在二次函数y=-$\frac{{x}^{2}}{3}$+4的图象上和图象下方的整点有6个，坐标为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2），（3，1）．
∵1×1=1，1×2=2，1×3=3，2×1=2，2×2=4，3×1=3，且在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上和上方的整点有5个，
∴整点（1，1）不在阴影区域内，
∴1＜k≤2．
故选A．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出整点的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合二次函数与反比例函数图象上点的坐标特征找出整点的坐标是关键．