Question

8．如图，在△ABC外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AF．连结DC、BE交于F点．
（1）求证：△DAC≌△BAE．
（2）直线DC、BE是否互相垂直，请说明理由．
（3）求证：AF平分∠DFE．

Answer 1

分析 （1）由题意可得AD=AB，AC=AE，由∠DAB=∠CAE=90°，可得到∠DAC=∠BAE，从而可证△DAC≌△BAE；
（2）由（1）可得∠ACD=∠AEB，再利用直角三角形的性质及等量代换即可得到结论；
（3）作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，利用全等三角形的面积相等及角平分线的判定即可证得结论．

解答 解：
（1）∵∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
又∵AD=AB，AC=AE，
在△DAC与△BAE中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$
∴△DAC≌△BAE；
（2）DC⊥BE．
理由是：
∵△DAC≌△BAE
∴∠ACD=∠AEB
∵∠AEB+∠ANE=90°
∠ANE=∠FNC     
∴∠FNC+∠ACD=90°
∴∠NFC=90°
∴DC⊥BE
（3）如图，作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，

∵△DAC≌△BAE
∴S_△DAC=S_△BAE，DC=BE，
∴$\frac{1}{2}$DC•AM=$\frac{1}{2}$BE•AN，
∴AM=AN，
∴AF平分∠DFE．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，及直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键．