Question

9．意大利著名画家达•芬奇验证勾股定理的方法如下：
（1）在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b的正方形，并连接BC、FE．
（2）沿ABCDEF剪下，得两个大小相同的纸板Ⅰ、Ⅱ，请动手做一做．
（3）将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成其他的图形．
（4）比较两个多边形ABCDEF和A′B′C′D′E′F′的面积，你能验证勾股定理吗？

Answer 1

分析 只要证明四边形B′C′E′F′是正方形，再证明△BOC≌△FOE，同理可证△BOC≌△B′A′F′≌△E′D′C′，推出BC=EF，B′C′=B′F′=F′E′=E′C′，设BC=EF=c，推出四边形B′C′E′F′是菱形，B′C′=c，由两个多边形ABCDEF和A′B′C′D′E′F′的面积相等，推出正方形ABOF的面积+正方形OCDE的面积=正方形B′C′F′的面积，即a²+b²=c²．

解答 解：∵四边形ABOF、四边形CDEO是正方形，
∴OB=OF，OC=OE，∠BOF=∠COE=90°，
∴∠BOC=∠FOE=90°，
在△BOC和△FOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OF}\\{∠BOC=∠FOE=90°}\\{OC=OE}\end{array}\right.$
∴△BOC≌△FOE（SAS），
同理可证△BOC≌△B′A′F′≌△E′D′C′，
∴BC=EF，B′C′=B′F′=F′E′=E′C′，设BC=EF=c，
∴四边形B′C′E′F′是菱形，B′C′=c，
∵∠DEF=∠A′F′E′，∠OEF=∠A′F′B′，
∴∠B′F′E′=90°，
∴四边形B′C′E′F′是正方形，
∵两个多边形ABCDEF和A′B′C′D′E′F′的面积相等，
∴正方形ABOF的面积+正方形OCDE的面积=正方形B′C′F′的面积，
∴a²+b²=c²．

点评 本题考查勾股定理的证明，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是证明正方形ABOF的面积+正方形OCDE的面积=正方形B′C′F′的面积，体现了数形结合的思想，属于中考常考题型．