Question

7．如图，在△ABC中，AB边垂直平分线交BC于点D，AC边垂直平分线交BC于点E，连接AD，AE．
（1）若∠BAC=110°，求∠DAE的度数；
（2）若∠BAC=θ（0°＜θ＜180°），求∠DAE的度数（用含θ的式子表示）

Answer 1

分析 （1）根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA，EC=EA，根据等腰三角形的性质解答即可；
（2）分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°-α，再根据角的和差关系进行计算即可．

解答 解：（1）∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，
∴DB=DA，EC=EA，
∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=70°，
∵DB=DA，EC=EA，
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，
∴∠DAB+∠EAC=70°，
∴∠DAE=110°-70°=40°，
（2）分两种情况：
①如图所示，当∠BAC≥90°时，

∵DM垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
同理可得，∠C=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°-θ，
∴∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=θ-（180°-θ）=2θ-180°；
②如图所示，当∠BAC＜90°时，

∵DM垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
同理可得，∠C=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°-θ，
∴∠DAE=∠BAD+∠CAE-∠BAC=180°-θ-θ=180°-2θ．

点评 本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．