Question

2．学习完解直角三角形知识，同学们利用它求我校某平房前一棵大树的高度，如图，大树AB与平房CD底部在同一平地，知道二层平房CD高为6米，在平房顶部点C测得树顶A点的仰角α=30°，从平房底部向树的方向水平前进2米到达点E，在点E处测得大树顶A的仰角β=60°，请你帮同学们求出这棵大树高度AB（结果保留根号）

Answer 1

分析 作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在直角△ACF中利用三角函数用x表示出CF的长，在直角△ABE中表示出BE的长，然后根据CF-BE=DE即可列方程求得x的值，进而求得AB的长．

解答 解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，
在Rt△ACF中，tan∠ACF=$\frac{AF}{CF}$，
则CF=$\frac{AF}{tan∠ACF}$=$\frac{x}{tanα}$=$\frac{x}{tan30°}$=$\sqrt{3}$x，
在直角△ABE中，AB=x+BF=6+x（米），
在直角△ABF中，tan∠AEB=$\frac{AB}{BE}$，则BE=$\frac{AB}{tan∠AEB}$=$\frac{x+6}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+6）米．
∵CF-BE=DE，即$\sqrt{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+6）=2．
解得：x=$\frac{\sqrt{3}+9}{3}$，
则AB=$\frac{\sqrt{3}+9}{3}$+6=$\frac{\sqrt{3}+27}{3}$（米）．
答：树高AB是$\frac{\sqrt{3}+27}{3}$米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．