Question

9．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号，已知A、B两船相距100（$\sqrt{3}+1$）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）求出A与C间的距离AC；
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救故障船C，在去营救的途中无触暗礁危险．
（填“有”或“无”，不必说明理由，参考数据：$\sqrt{2}≈1.41，\sqrt{3}≈1.73$）

Answer 1

分析 （1）作CE⊥AB，设AE=x海里，则BE=CE=$\sqrt{3}$x海里．根据AB=AE+BE=x+$\sqrt{3}$x=100（$\sqrt{3}$+1），求得x的值后即可求得AC的长；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，设AF=y，则DF=CF=$\sqrt{3}$y，根据AC=AF+FC得出AC=y+$\sqrt{3}$y=200，求出y的值，再根据AD的长和∠DAF的度数，求出线段DF的长，然后与100比较即可得到答案．

解答 解：（1）如图，作CE⊥AB，
由题意得：∠ABC=45°，∠BAC=60°，
设AE=x海里，
在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°=$\sqrt{3}$x；
在Rt△BCE中，BE=CE=$\sqrt{3}$x．
则AE+BE=x+$\sqrt{3}$x=100（$\sqrt{3}$+1），
解得：x=100．
AC=2x=200．
答：A与C之间的距离AC为200海里．

（2）过点D作DF⊥AC于点F，
在△ACD中，∠DAC=60°，∠ADC=75°，则∠ACD=45°，
设AF=y，则DF=CF=$\sqrt{3}$y，
∴AC=y+$\sqrt{3}$y=200，
解得：y=100（$\sqrt{3}$-1），
∴AD=2y=200（$\sqrt{3}$-1），
∴DF=$\sqrt{3}$AF=$\sqrt{3}$×100（$\sqrt{3}$-1）≈126.3海里，
∵126.3＞100，
∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中无触暗礁危险．
故答案为：无．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行求解．