Question

8．如图，AB为⊙O的直径，点C，D，E为⊙O上的点，AC∥DE，AB=4$\sqrt{5}$，tan∠CAB=2，$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，则AE的长为6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接AD、BD、BE，先证得△ADB是等腰直角三角形，进而证得∠E=45°，根据AC∥DE，得出∠CAE=45°，然后根据tan（45°+∠EAB）=$\frac{tan45°+tan∠EAB}{1-tan45°•tan∠EAB}$=$\frac{1+tan∠EAB}{1-tan∠EAB}$=2，求得tan∠EAB=$\frac{1}{3}$，根据勾股定理即可求得AE的长．

解答 解：连接AD、BD、BE，
∵$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，∠AEB=90°，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∴∠E=∠ABD=45°，
∵AC∥DE，
∴∠CAE=∠E=45°，
∴∠CAB=∠CAE+∠EAB=45°+∠EAB，
∴tan∠CAB=tan（45°+∠EAB）=2，
∵tan（45°+∠EAB）=$\frac{tan45°+tan∠EAB}{1-tan45°•tan∠EAB}$=$\frac{1+tan∠EAB}{1-tan∠EAB}$=2，
∴tan∠EAB=$\frac{1}{3}$，
在RT△ABE中，tan∠EAB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{1}{3}$，
∴AE=3BE，
∵AE²+BE²=AB²，
即AE²+（$\frac{1}{3}$AE）²=AB²，
∵AB=4$\sqrt{5}$，
∴AE=6$\sqrt{2}$．
故答案为：6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理，平行线的性质，勾股定理以及直角三角函数等，求得tan∠EAB=$\frac{1}{3}$是解题的关键．