Question

11．如图，已知抛物线y=-x²-2x+m+1与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，且x₁＜0，x₂＞0，与y轴交于点C，顶点为P．（提示：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$）
（1）求m的取值范围；
（2）若OA=3OB，求抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴PD上，存在点Q使得△BQC的周长最短，试求出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）将抛物线的问题转化到一元二次方程中，利用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系解决；
（2）先用一元二次方程的两根表示出OA，OB，再用根与系数的关系即可；
（3）先由于点A，B关于抛物线的对称轴PD对称，连接AC与PD的交点就是使△BQC的周长最短，然后确定出直线AC解析式，最后将抛物线的对称轴代入直线AC解析式中即可．

解答 解：（1）令y=0，则有-x²-2x+m+1=0，
即：x₁，x₂是一元二次方程x²+2x-（m+1）=0，
∵抛物线y=-x²-2x+m+1与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，
∴x₁•x₂=-（m+1），x₁+x₂=-2，
△=4+4（m+1）＞0，
∴m＞-2
∵x₁＜0，x₂＞0，
∴x₁•x₂＜0，
∴-（m+1）＜0，
∴m＞-1，
即：m＞-1；
（2）∵A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，且x₁＜0，x₂＞0，
∴OA=-x₁，OB=x₂，
∵OA=3OB，
∴-x₁=3x₂，①
由（1）知，x₁+x₂=-2，②
x₁•x₂=-（m+1），③
联立①②③得，x₁=-3，x₂=1，m=2，
∴抛物线的解析式y=-x²-2x+3；
（3）存在点Q，
理由：如图，

连接AC交PD于Q，点Q就是使得△BQC的周长最短，（∵点A，B关于抛物线的对称轴PD对称，）
连接BQ，
由（2）知，抛物线的解析式y=-x²-2x+3；x₁=-3，
∴抛物线的对称轴PD为x=-1，C（0，3），A（-3，0），
∴用待定系数法得出，直线AC解析式为y=x+3，
当x=-1时，y=2，
∴Q（-1，2），
∴点Q（-1，2）使得△BQC的周长最短．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，极值的确定，解本题的关键是将函数问题转化到一元二次方程中去，此种方法是解二次函数中求与线段长度有关的题目中常用的方法．