Question

17．如图，菱形ABCD的边长为4，过点A，C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE=3，则四边形AECF的周长为22．

Answer 1

分析 由菱形的性质得出AB=BC=4，AD∥BC，证明四边形AECF是平行四边形，得出CF=AE=3，AF=CE，再由角的互余关系求出∠BAE=∠E，得出BE=AB=4，求出CE，即可得出四边形AECF的周长．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=4，AD∥BC，
∴AF∥CE，
∵AE⊥AC，CF⊥AC，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴CF=AE=3，AF=CE，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵AE⊥AC，
∴∠EAC=90°，
∴∠BAC+∠BAE=90°，∠BCA+∠E=90°，
∴∠BAE=∠E，
∴BE=AB=4，
∴CE=4+4=8，
∴四边形AECF的周长=2（AE+CE）=2（3+8）=22．
故答案为：22．

点评 本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行四边形周长的计算；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．