Question

11．求证：有无穷多个n，能使多项式n²+3n+7；
（1）表示合数；
（2）是11的倍数．

Answer 1

分析 （1）先把原式化为n（n+3）+7的形式，再设n=7k或n=7k-3，代入代数式即可得到关于k的式子，由合数的定义即可解答；
（2）设n²+3n+7=11k，（k是正整数），再把方程左边因式分解，由合数的定义即可解答．

解答 证明：（1）要使n（n+3）+7是合数．
则只要n（n+3）是7的倍数就可以．
要使n（n+3）是7的倍数，则n=7k或n=7k-3，
当n=7k（k为自然数）时，原式=49k²+21k+7=7（7k²+3k+1），
同理，当n=7k-3时，原式=49k²-21k+7=7（7k²-3k+1），
满足此条件的自然数k有无数个，所以对应的n也有无穷多个；

（2）使多项式n²+3n+7为11的倍数，
设n²+3n+7=11k（k是正整数），
n²+3n-4=11（k-1），
（n+4）（n-1）=11（k-1），
要使n²+3n+7是11的倍数，
则只要（n+4）（n-1）是11的倍数就可以．
则n=11k-4或n=11k+1（k=0、1、2、3…），
当n=11k-4时，原式=11k（11k-5）+11=11（11k²-5k+1），
同理可得，当n=11k+1时，原式=11k（11k+5）+11=11（11k²+5k+1），
满足此条件的k有无穷多个，
故表示为11的倍数的n也有无穷多个．

点评 本题考查的是质数与合数，熟知合数的定义是解答此题的关键．