Question

19．如图，已知：AB为⊙O的直径，过A作弦AC、AD，并延长与过B的切线交于M、N，求证：∠MCN=∠MDN．

Answer 1

分析 连接BC、BD，由勾股定理和相似得：BM²=AM•MC=AM²-AB²，化简得AB²=AM•AC，同理得：AB²=AN•AD，则AM•AC=AN•AD，证明△MAD∽△NAC，可得结论；也可以直接利用切割线定理和四点共圆来证明．

解答 证明：连接BC、BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCM=90°，
∵MN是⊙O的切线，
∴∠ABM=90°，
∴∠BCM=∠ABM，
∵∠BMC=∠BMC，
∴△BMC∽△AMB，
∴$\frac{BM}{AM}=\frac{MC}{BM}$，
∴BM²=AM•MC，
在Rt△ABM中，BM²=AM²-AB²，
∴AM²-AB²=MC•AM，
∴AM（AM-MC）=AB²，
∴AB²=AM•AC，
同理得：AB²=AN•AD，
∴AM•AC=AN•AD，
∴$\frac{AM}{AN}=\frac{AD}{AC}$，
∵∠MAD=∠NAC，
∴△MAD∽△NAC，
∴∠ADM=∠ACN，
∴∠MCN=∠MDN．

点评 本题考查了切线的性质、相似三角形的性质和判定，有难度，本题是利用构建相似三角形，利用相似三角形的对应角相等及等角的补角相等，使问题得以解决．