Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C，D，AB与CD相交于点E，线段OA，OC的长是一元二次方程x²-18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=

3

4

．
（1）求点A，C的坐标；
（2）若反比例函数y=

k

x

的图象经过点E，求k的值；
（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题,勾股定理,相似三角形的应用

专题：压轴题

分析：（1）先求出一元二次方程x²-18x+72=0的两根就可以求出OA，OC的值，进而求出点A，C的坐标；
（2）先由勾股定理求出AB的值，得出AE的值，如图1，作EM⊥x轴于点M，由相似三角形的性质就可以求出EM的值，AM的值，就可以求出E的坐标，由待定系数法就可以求出结论；
（3）如图2，分别过C、E作CE的垂线交坐标轴三个点P₁、P₃、P₄，可作出三个Q点，过E点作x轴的垂线与x轴交与p₂，即可作出Q₂，以CE为直径作圆交于y轴两个点P₅、P₆，使PC⊥PE，即可作出Q₅、Q₆．

解答：解：（1）∵x²-18x+72=0
∴x₁=6，x₂=12．
∵OA＞OC，
∴OA=12，OC=6．
∴A（12，0），C（-6，0）；

（2）∵tan∠ABO=

3

4

，
∴

OA

OB

=

3

4

，
∴

12

OB

=

3

4

，
∴OB=16．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=

162+122

=20．
∵BE=5，
∴AE=15．
如图1，作EM⊥x轴于点M，
∴EM∥OB．
∴△AEM∽△ABO，
∴

EM

BO

=

AM

AO

=

AE

AB

，
∴

EM

16

=

AM

12

=

15

20

，
∴EM=12，AM=9，
∴OM=12-9=3，
∴E（3，12），
∴12=

k

3

，
∴k=36；

（3）满足条件的点Q的个数是6，如图2所示，
x轴的下方的Q₄（10，-12），Q₆（-3，6-3

6

）；

如图①，∵E（3，12），C（-6，0），
∴CG=9，EG=12，
∴EG²=CG•GP，
∴GP=16，
∵△CPE与△PCQ中心对称，
∴CH=GP=16，QH=EG=12，
∵OC=6，
∴OH=10，
∴Q（10，-12），

如图②∵E（3，12），C（-6，0），
∴CG=9，EG=12，
∴CE=15，
∵MN=

1

2

CG=

9

2

，
∴MK=

9

2

-3=

3

2

，
∴PK=

( 15 2 )2-( 3 2 )2

=3

6

，
∴PH=3

6

-

EG

2

=3

6

-6，
根据轴对称和中心对称的性质，
∴Q（-3，6-3

6

），

点评：本题考查了一次函数的交点坐标的求法以及勾股定理的运用，三角函数的应用，三角形相似对应边成比例等．