Question

如图，∠AOB=60°，点P在∠AOB的平分线上，∠CPD=120°，PD=2，求CD的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：过点P作PE⊥OA于E，作PF⊥OB于F，作PG⊥CD于G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF，然后求出∠CPE=∠DPF，再利用“角边角”证明△PFD和△PEC全等，根据全等三角形对应边相等可得PC=PD，再根据等腰三角形的两底角相等求出∠PCD，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PG=

1

2

PD，利用勾股定理列式求出DG，再根据等腰三角形三线合一的可得CD=2DG计算即可得解．

解答：解：如图，过点P作PE⊥OA于E，作PF⊥OB于F，作PG⊥CD于G，
∵点P在∠AOB的平分线上，
∴PE=PF，
∵∠AOB=60°，
∴∠EPF=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠DPF=120°-∠DPE，
∵∠CPD=120°，
∴∠CPE=120°-∠DPE，
∴∠CPE=∠DPF，
在△PFD和△PEC中，

∠CPE=∠DPF PE=PF ∠CEP=∠DFP=90°

，
∴△PFD≌△PEC（ASA），
∴PC=PD，
∵∠CPD=120°，
∴∠CDP=

1

2

（180°-120°）=30°，
∴PG=

1

2

PD=

1

2

×2=1，
在Rt△PDG中，由勾股定理得，DG=

PD2-PG2

=

22-12

=

3

，
∴CD=2DG=2

3

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，勾股定理，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．