Question

如图，已知一次函数y=

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x+6的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，点P从点A出发沿AO方向以每秒

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单位长度的速度向点O匀速运动，同时点Q从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度向点A匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒，过点Q作QC⊥y轴，连接PQ、PC．
（1）点A的从标为

 

，点B的坐标为

 

，AB=

 

；
（2）四边形APCQ能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）若点D（0，2），点N在x轴上，直线AB上是否存在点M，使以M、N、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）分别令y=0，x=0，即可求得A、B的坐标，然后根据勾股定理即可求得AB的长；
（2）先求得∠BQC=∠BAO=30°，从而得出QC=

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QB，进而求得QC=

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t，因为AP=

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t，所以四边形APCQ是平行四边形，如果AQ=QC，则四边形APCQ为菱形，
根据AQ=QC即可求得；
（3）根据四边形APCQ是平行四边形，可知M点的纵坐标为4，把y=4代入y=

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x+6即可求得；

解答：解：（1）如图1，∵一次函数y=

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x+6的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，
令y=0，则0=

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x+6，解得：x=-6

3

，
∴A（-6

3

，0），
令x=0，则y=6，
∴B（0，6），
∴AB=

(-6 3 )2+62

=12；

（2）如图1，∵直线AB的斜率为

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，
∴∠BAO=30°，
∵QC⊥y轴，
∴QC∥x轴，
∴∠BQC=∠BAO=30°，
∴QC=

3

2

QB，
∵QB=2t，
∴QC=

3

t，
∵AP=

3

t，
∴四边形APCQ是平行四边形，
∴如果AQ=QC，则四边形APCQ为菱形，
∵AB=12，
∴AQ=12-2t，
即12-2t=

3

t，解得：t=24-12

3

，
∴当t=24-12

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时，四边形APCQ为菱形；

（3）如图2，∵B（0，6），D（0，2），
∴BD=4，
∵四边形MNDB是平行四边形，
∴MN=BD=4，MN⊥x轴，
把y=4代入y=

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3

x+6得：4=

3

3

x+6，
解得：x=-2

3

，
∴M（-2

3

，4）．
把y=-4代入y=

3

3

x+6得：-4=

3

3

x+6，
解得：x=-10

3

，
M（-10

3

，-4），
M点的坐标为（-2

3

，4），（-10

3

，-4）．

点评：本题考查了直线与坐标轴的交点的求法，三角函数的应用，平行四边形的判定，菱形的判定以及直线上点的坐标的求法等．