题目内容
以点A（0，4），B（8，4），C（0，8）为顶点的四边形OABC在平面直角坐标系中位置如图，现将四边形OABC沿直线AC折叠使点B落在点D处，AD交OC于E．（1）试求E点坐标及直线AE的解析式；
（2）试求经过点O、D、C三点抛物线的解析式及顶点F的坐标；
（3）一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒一个单位长度的速度匀速运动．
①当t为何值时，直线PE把△EAC分成面积之比为1：3的两部分；
②在P点的运动过程中，是否存在某一时刻使△APE为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）先根据AAS定理得出△AEO≌△CED，再根据勾股定理求出OE的长，进而得出E点坐标，再利用待定系数法求出直线AE的解析式即可；
（2）过D作DG⊥OC于G，可得出△CDE∽△DGE，根据相似三角形的性质求出CD两点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（3）①先求出直线AC的解析式为，设直线PE交AC于H，H（m，-
m+4），过H作HM⊥OA垂足为M，则△AMH∽△AOC，根据相似三角形的对应边成比例求出HM的长，进而可得出结论；
②分EP⊥AB与PE⊥AE两种情况进行讨论即可．
（2）过D作DG⊥OC于G，可得出△CDE∽△DGE，根据相似三角形的性质求出CD两点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（3）①先求出直线AC的解析式为，设直线PE交AC于H，H（m，-
| 1 |
| 2 |
②分EP⊥AB与PE⊥AE两种情况进行讨论即可．
解答：
解：（1）∵四边形OABC为矩形，△ADC是由△ABC沿AC翻折而成，且A（0，4），B（8，4），C（8，0），则DC=BC=OA=4，
∠D=∠AOE=90°，∠AEO=∠CED，
∵
，
∴△AEO≌△CED（AAS），
∴DE=OE，
设OE=x，则EC=8-x，
∴（8-x）2=x2+42．
∴OE=3，
∴E点为（3，0）
设过A，E两点直线解析式为y=kx+b（k≠0），则
，
∴直线AE的解析式为：y=-
x+4；
（2）过D作DG⊥OC于G，故△CDE∽△DGE，
∵OE=3，
∴EC=5，
∴
=
，
=
，即DG=
，EG=
，
∴D（
，-
），
由于过点O、D、C的抛物线经过原点，则设y=ax2+bx，而C（8，0），D（
，-
），
∴
，解之得
，
∴y=
x2-
x，
∴y=
x2-
x=
（x2-8x+16）-
=
（x-4）2-
，
故经点F的坐标为F（4，-
）；
（3）①易求直线AC的解析式为yAC=-
x+4，设直线PE交AC于H，H（m，-
m+4），
过H作HM⊥OA垂足为M，则△AMH∽△AOC，
∴
=
，
∴S△EAH：S△FHC=1：3或3：1，
∴
=1：3或3：1即
=
=1：4或3：4
∴HM=2或6，而m=2或6，
∴H1（2，3），H2（6，1），
∴直线EH1的解析式为y=-
x+
，当y=4时，x=
直线EH2的解析式为y=
x-
，当y=4时，x=
故当t=
秒或
秒，直线EP把△EAC分成面积之比为1：3两部分．
②当EP⊥AB时，
∵A（0，4），E（3，0），
∴AP=3，即t=3（s）；
当PE⊥AE时，
∵直线AE的解析式为：y=-
x+4；
设直线PE的解析式为y=
x+b，
∵E（0，3），
∴
×3+b=3，解得b=
，
∴直线PE的解析式为y=
x+
，
∴当y=4时，x=
，
∴AP=
，即t=
（s）．
综上所述，当t=
秒或
秒或t=
秒时，直线EP把△EAC分成面积之比为1：3两部分．
解：（1）∵四边形OABC为矩形，△ADC是由△ABC沿AC翻折而成，且A（0，4），B（8，4），C（8，0），则DC=BC=OA=4，∠D=∠AOE=90°，∠AEO=∠CED，
∵
|
∴△AEO≌△CED（AAS），
∴DE=OE，
设OE=x，则EC=8-x，
∴（8-x）2=x2+42．
∴OE=3，
∴E点为（3，0）
设过A，E两点直线解析式为y=kx+b（k≠0），则
|
∴直线AE的解析式为：y=-
| 4 |
| 3 |
（2）过D作DG⊥OC于G，故△CDE∽△DGE，
∵OE=3，
∴EC=5，
∴
| DE |
| EC |
| DG |
| CD |
| DE |
| EC |
| EG |
| DE |
| 12 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
∴D（
| 24 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
由于过点O、D、C的抛物线经过原点，则设y=ax2+bx，而C（8，0），D（
| 24 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
∴
|
|
∴y=
| 5 |
| 32 |
| 5 |
| 4 |
∴y=
| 5 |
| 32 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 32 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 32 |
| 5 |
| 2 |
故经点F的坐标为F（4，-
| 5 |
| 2 |
（3）①易求直线AC的解析式为yAC=-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
过H作HM⊥OA垂足为M，则△AMH∽△AOC，
∴
| MH |
| OC |
| AH |
| AC |
∴S△EAH：S△FHC=1：3或3：1，
∴
| AH |
| HC |
| AH |
| AC |
| MH |
| OC |
∴HM=2或6，而m=2或6，
∴H1（2，3），H2（6，1），
∴直线EH1的解析式为y=-
| 11 |
| 4 |
| 17 |
| 2 |
| 18 |
| 11 |
直线EH2的解析式为y=
| 7 |
| 4 |
| 19 |
| 2 |
| 54 |
| 7 |
故当t=
| 18 |
| 11 |
| 54 |
| 7 |
②当EP⊥AB时，
∵A（0，4），E（3，0），
∴AP=3，即t=3（s）；
当PE⊥AE时，
∵直线AE的解析式为：y=-
| 4 |
| 3 |
设直线PE的解析式为y=
| 3 |
| 4 |
∵E（0，3），
∴
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∴直线PE的解析式为y=
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∴当y=4时，x=
| 13 |
| 3 |
∴AP=
| 13 |
| 3 |
| 13 |
| 3 |
综上所述，当t=
| 18 |
| 11 |
| 54 |
| 7 |
| 13 |
| 3 |
点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、全等三角形及相似三角形的判定与性质，难度较大．
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