Question

如图，已知点A（2，0）、B（-1，1），点P是直线y=-x+4上任意一点．
（1）当点P在什么位置时，△PAB的周长最小？求出点P的坐标及周长的最小值；
（2）在（1）的条件下，求出△PAB的面积．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,一次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）先根据对称找出P点的位置，求出A的对称点C的坐标，求出直线BC解析式，求出两函数组成的方程组的解，即可求出P的坐标，即可求出答案；
（2）根据S_△PAB=S_△PAF-S_△BAF代入求出即可．

解答：解：（1）作出点A关于直线y=-x+4的对称点C，连结BC交直线于点P，
∴PA=PC，AD=CD，
则PB+PA=PB+PC=BC，
由直线y=-x+4得与x轴上的交点D为（4，0）、与y轴的交点为E为（0，4），
∴OD=OE=4，则∠ODE=45°，则∠ADC=90°，
∴AD=CD=2，
∴点C的坐标是（4，2），
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有

-k+b=1 4k+b=2

，
解得：k=

1

5

，b=

6

5

，
即直线BC的解析式为：y=

1

5

x+

6

5

．
由方程组

y= 1 5 x+ 6 5 y=-x+4

得：

x= 7 3 y= 5 3

，
即P的坐标是（

7

3

，

5

3

），
由勾股定理得BC=

26

、AB=

10

，
∴△PAB的周长是

26

+

10

；
（2）直线y=x+4与x轴交于F点，如图2，
由直线BC的解析式y=

1

5

x+

6

5

得：点F的坐标是（-6，0），
∴S_△PAB=S_△PAF-S_△BAF=

1

2

×AF×（

5

3

-1）=

8

3

．

点评：本题考查了轴对称性质，勾股定理，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的应用，题目比较典型，但是有一定的难度．