Question

阅读材料：
邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是正方形，则称原矩形为n阶准正方形，
如图1，矩形ABCD中，若AB=1，BC=2，则矩形ABCD为1阶准正方形．
（1）理解与判断：
①如图2，矩形ABCD中，AB=1，BC=5，则矩形ABCD是

 

阶准正方形；
②如图3，将矩形ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE．可以判断四边形ABFE的形状是

 

；
剪去四边形ABFE发现四边形EFCD的边长CF=1，CD=2，则原矩形ABCD是

 

阶准正方形；
（2）计算与探究：
①已知矩形ABCD的邻边长为1，a（a＞1），且是3阶准正方形，则a的值是

 

（写出所有满足题意的a）；
②已知矩形ABCD邻边长分别为m，n（m＞n），满足m=2013n+r，n=8r，则矩形ABCD是

 

阶准正方形．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）①通过操作画图可以得出第一次应该减去是一个边长为1的正方形，就剩下一个长为4宽为1的矩形，再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形，就剩下一个长为3宽为1的矩形，再进行第三次操作减去一个边长为1的正方形，就剩下一个长为2宽为1的矩形，再进行第四次操作减去一个边长为1的正方形，则余下的就是一个边长为1正方形，故得出结论4阶准正方形；
②由折纸可以得出AB=BF，AE=FE，从而得出△AEB≌△FEB，就可以得出AE=FE，∠BFE=∠A=90°，就有四边形ABFE是矩形，就有矩形ABFE为正方形；
（2）①由n阶准正方形的意义通过画图就可以求出a的值；
②由条件可知m=2013n+r，n=8r，再通过操作就可以求出结论．

解答：解：（1）①由题意得，第一次操作应该减去一个边长为1的正方形，
∴就剩下一个长为4宽为1的矩形，再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形，就剩下一个长为3宽为1的矩形，再进行第三次操作减去一个边长为1的正方形，就剩下一个长为2宽为1的矩形，再进行第四次操作减去一个边长为1的正方形，则余下的就是一个边长为1正方形，
∴共操作4次．
∴这个矩形是4阶准正方形．

②∵△AEB与△FEB关于直线BE成轴对称，
∴△AEB≌△FEB，
∴AE=FE，∠BFE=∠A．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABF=90°，
∴∠A=∠ABF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE为矩形．
∵AE=FE，
∴矩形ABFE为正方形；
∵再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形，则余下的就是一个边长为1正方形，
∴原矩形ABCD是2阶准正方形；

（2）①由题意，得
如图1，

∴a的值=4，
如图2，

∴a的值=2.5，
同理可得出：a=

5

3

或

4

3

，
∴a的值为4或2.5或

5

3

或

4

3

；
②由题意，得
∵m=2013n+r，n=8r，
∴是2013+（8-1）=2020阶准正方形．
故答案为：4；正方形，2；4或2.5或

5

3

或

4

3

；2020．

点评：本题考查了四边形综合题，矩形的性质和正方形的性质的运用，轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，分类讨论思想在几何题目中的运用，解答时根据题意正确画出图形是关键．