Question

如图，已知矩形ABCD由n个全等的正方形组成，点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4，则GH的长为

 

．（用n的代数式表示）

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：首先过点G作GN∥AB交BC于点N，过点E作EM∥AD交CD于点M，由四边形ABCD是矩形，∠FOH=90°，易证得△EFM∽△GHN，又由相似三角形的对应边成比例，易证得

EF

GH

=

EM

GN

，然后由矩形ABCD由n个全等的正方形组成，即可求得GH的长．

解答：解：过点G作GN∥AB交BC于点N，过点E作EM∥AD交CD于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠D=∠C=90°，
∴EM=AD=BC，GN=AB=CD，
∴∠GNH=∠EMF=90°，
∵∠FOH=90°，
∴∠EFM+∠CHO=360°-∠C-∠FOH=180°，
∵∠GHN+∠CHO=180°，
∴∠EFM=∠GHN，
∴△EFM∽△GHN，
∴

EF

GH

=

EM

GN

，
∵矩形ABCD由n个全等的正方形组成，
∴AB=nAD，
即GN=nEM，
∴GH=nEF=4n．
故答案为：4n．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及正方形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．