Question

（1）x．y均为整数，若5|（x+9y），求证：5|（8x+7y）．
（2）x．y，z均为整数，若11|（7x+2y-5z），求证：11|（3x-7y+12z）．

Answer 1

考点：数的整除性

专题：

分析：（1）先根据整除的性质：如果整数a能被自然数c整除，那么a的倍数（整数倍）也能被c整除，得出5|8（x+9y），5|65y，再由如果两个整数a、b都能被c整除，那么a与b的差也能被c整除得出
5|8（x+9y）-65y，即可证明出5|（8x+7y）；
（2）先根据整除的性质：如果整数a能被自然数c整除，那么a的倍数（整数倍）也能被c整除，得出11|（7x+2y-5z）×2，11|11×（x+y-2z），再由如果两个整数a、b都能被c整除，那么a与b的差也能被c整除得出11|（7x+2y-5z）×2-11×（x+y-2z），即可证明出11|（3x-7y+12z）．

解答：证明：（1）∵5|（x+9y），x、y均为整数，
∴5|8（x+9y），
又∵5|65y，y为整数，
∴5|8（x+9y）-65y，
而8x+7y=8x+72y-65y=8（x+9y）-65y，
故5|（8x十7y）；

（2）∵11|7x+2y-5z，x、y、z均为整数，
∴11|（7x+2y-5z）×2，
∵（7x+2y-5z）×2=14x+4y-10z，
∵x、y、z均为整数，
∴x+y-2z为整数，
∴11|11×（x+y-2z），
∵11×（x+y-2z）=11x+11y-22z，
∴（7x+2y-5z）×2-11×（x+y-2z）=3x-7y+12z，
∴11|3x-7y+12z．

点评：本题主要考查了整除的性质，难度适中，将（1）中8x+7y写成x+9y的倍数与5的倍数的代数和的形式及（2）中3x-7y+12z写成7x+2y-5z的倍数与11的倍数的代数和的形式是解题的关键．