Question

已知半圆O的直径AB为10，点M是该半圆周上的一个动点，连接AM、BM，并延长BM至点C，使BM=CM．过点C作AB的垂线，交AB或其反向延长线于点D，交AM或其反向延长线于点E，点D为垂足，连接OE．
（1）当CD与AB交于点D，与AM交于点E时（如图），求证：∠BAM=∠C；
（2）在（1）的情况下，若CD=8，求DE的值；
（3）设AD=t，在点M的运动过程中，是否存在t使得以点E、O、D为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：分类讨论

分析：（1）由AB为半圆的直径，利用直角所对的圆周角为直角，得到AM垂直于BC，再由CD垂直于AB，得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形CEM与三角形ADE相似，由相似三角形的对应角相等可得证；
（2）连接AC，则可判断AM是线段BC的垂直平分线，在Rt△ACD中，求出AD，从而得出BD，再由Rt△AED与Rt△CDB相似，利用相似三角形的性质即可得出DE的长；
（3）若以点E、O、D为顶点的三角形与△BAP相似，则有∠EOD=∠PAM或∠EOD=∠ABM，然后分别求出AD的长度，即为t的值．

解答：
解：（1）证明：∵AB为半圆的直径，
∴∠AMB=∠CMA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CMA=∠CDA，又∠CEM=∠AED，
∴△CME∽△ADE，
∴∠BAM=∠C；

（2）连接AC，如图1所示，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠AMB=90°，
又∵CM=BM，
∴AM是线段BC的垂直平分线，
∴AC=AB=10，
在Rt△ACD中，AD=

AC2-CD2

=6，
∴BD=4，
又∵Rt△AED∽Rt△CBD，
∴

ED

BD

=

AD

CD

，即

DE

4

=

6

8

，
∴DE=3；

（3）存在，理由如下：
若以点E、O、D为顶点的三角形与△ABM相似，则有∠EOD=∠MAB或∠EOD=∠ABM，
①当∠EOD=∠MAB时，如图2所示，此时△AOE为等腰三角形，点D为AO的中点，即t=AD=

5

2

；
②当∠EOD=∠ABM时，OE∥BM，如图3所示，此时OD=5-AD，BD=10-AD，
∵Rt△DOE∽Rt△DBC，
∴

OD

BD

=

OE

BC

，即

5-AD

10-AD

=

1

4

，
∴t=AD=

10

3

．
综上，在点M的运动过程中，存在t使得以点E、O、D为顶点的三角形与△ABM相似，此时t的值为

5

2

或

10

3

．

点评：此题考查了二次函数的综合题，涉及了圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，本题的难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解，难度较大．