Question

1．如图，函数y₁=-x+4的图象与函数y₂=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于A（3a，2b-9）、B（a，b-2）两点． 
（1）求函数y₂的表达式；
（2）过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥y轴，试问在线段AB上是否存在点P，使S_△PBD=2S_△PAC？若存在请求出P点坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点坐标代入直线AB解析式可求得A、B两点的坐标，再把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k，可求得函数y₂的表达式；
（2）设出P点坐标为（x，-x+4），根据三角形的面积关系可得到关于x的方程，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵函数y₁的图象过A、B两点，
∴把A、B两点分别代入函数y₁的解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{2b-9=-3a+4}\\{b-2=-a+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴A（3，1），B（1，3），
∵函数y₂的图象过A点，
∴1=$\frac{k}{3}$，解得k=3，
∴y₂=$\frac{3}{x}$；
（2）由（1）知A（3，1），B（1，3），
∴BD=AC=1，
∵P点在线段AB上，
∴设P点坐标为（x，-x+4），其中1≤x≤3，
则P到AC的距离为h_A=3-x，P到BD的距离为h_B=3-（-x+4）=x-1，
∴S_△PBD=$\frac{1}{2}$BD•h_B=$\frac{1}{2}$×1×（x-1）=$\frac{1}{2}$（x-1），S_△PAC=$\frac{1}{2}$AC•h_A=$\frac{1}{2}$×1×（3-x）=$\frac{1}{2}$（3-x），
∵S_△PBD=2S_△PAC，
∴$\frac{1}{2}$（x-1）=3-x，解得x=$\frac{7}{3}$，且1≤$\frac{7}{3}$≤3，符合条件，此时-x+4=$\frac{5}{3}$，
∴P（$\frac{7}{3}$，$\frac{5}{3}$），
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（$\frac{7}{3}$，$\frac{5}{3}$）．

点评 本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，在（1）中掌握交点坐标满足两函数解析式是解题的关键，在（2）中用P点坐标分别表示出△PBD和△PAC的面积是解题的关键．