题目内容
12．若以三角形的一边为边向形外作正三角形，以这边所对两个顶点为端点的线段称这个三角形的奇异线．如图1，以△ABC的边BC为边，向外作正△BCD，则AD是△ABC的一条奇异线．
（1）如图2，CD，AE都是△ABC的奇异线，求证：CD=AE；
（2）如图3，△ABC内接于⊙O，BD是它的奇异线，且点D在⊙O上，
①直接写出∠ABC=120度．
②若AB=2，BC=3，求奇异线BD的长．
（3）若图1△ABC中，∠BAC=30°，AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{3}$，求△ABC的奇异线AD的长．
分析 （1）利用等边三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△DBC≌△ABE进而得出答案；
（2）①利用圆内接四边形对角互补得出答案；
②得出∠CBE=120°+60°=180°，进而得出答案；
（3）首先得出，∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°，进而利用勾股定理得出答案．
解答 （1）证明：如图2，由题意可得：△ABD、△BCE为正三角形，
∴AB=DB，BC=BE，
∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，
即∠DBC=∠ABE；
在△DBC和△ABE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{DB=AB}\\{∠DBC=∠ABE}\\{BC=BE}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△ABE（SAS），
∴CD=AE；
（2）解：①如图3，∵∠ADC=60°，
∴∠ABC=120°，
故答案为：120；
②如图①，
以BC为边向外作正△BCE，则BD=AE，
∴∠CBE=120°+60°=180°，
∴A，B，E在同一直线上，
∴BD=AE=AB+BE=AB+BC=2=3=5，
（3）解：如图②，
以AC为边向外作正△ACE，则AD=BE，
在△ABE中，∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°，
∵AB=$\sqrt{2}$，AE=AC=$\sqrt{3}$，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AD=BE=$\sqrt{5}$．
点评 此题主要考查了圆的综合以及圆内接四边形的性质和正三角形的性质以及勾股定理等知识，正确应用等边三角形的性质是解题关键．
练习册系列答案
相关题目
一艘快艇的航线如图所示，从O港出发，1小时后回到O港，若行驶中快艇的速度保持不变，AB∥x轴，则快艇驶完AB这段路程所用的时间为（ ）（取$\sqrt{2}$的值为1.4）
如图所示，某海军基地位于A处，在其正南方向100海里处有一重要目标B，在B的正东方向100海里处也有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头，一艘军舰从A出发，经B到C匀速航行，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰，已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里（结果精确到0.1海里）？
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠CAB交CD于点F，交CB于点E，过点E作EH∥AB，交BC于H．
已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△ABC中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC，若点M、N分别是DB、EC的中点，证明：MN⊥EC，MN=$\frac{1}{2}$EC．
如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC的延长线交于点F，连接EF与CD交于点G、与对角线BD相交于点H
如图，函数y1=-x+4的图象与函数y2=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于A（3a，2b-9）、B（a，b-2）两点． 
将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=$\sqrt{2}$．