Question

4．定义：若△ABC的一条角平分线AD满足AD²=BD•CD，那么我们把这条角平分线AD叫做这个三角形的角分中项线
（1）如图①，△ABC中，点E为BC上一点，AD为△ABC的角平分线，且为△ABE的中线，且△ADE∽△CDA，求证AD为△ABC的角分中项线
（2）如图②，AD为△ABC的角分中项线
①求AB：BD
②若∠BAC=60°，BD=2，求S_△ABD
③如图③，若△ABD为等腰三角形，且AD=$\sqrt{2}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）由△ADE∽△CDA，推出$\frac{AD}{CD}$=$\frac{DE}{AD}$，即AD²=DE•DC，由BD=DE，即可推出AD²=BD•DC由此解决问题；
（2）①延长DB使得DE=DC．，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．只要证明△ADB∽△EDA，推出∠DAB=∠E=∠CAD，推出△ACD∽△ECA，推出$\frac{AC}{EC}$=$\frac{CD}{AC}$，推出AC²=CD•CE=2CD²，即$\frac{AC}{CD}$=$\sqrt{2}$，由$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BD}{DC}$=$\frac{\frac{1}{2}•AB•DM}{\frac{1}{2}•AC•DN}$，由DM=DN，可得$\frac{BD}{DC}$=$\frac{AB}{AC}$，推出$\frac{AB}{BD}$=$\frac{AC}{CD}$=$\sqrt{2}$；
②如图②-1中，作BH⊥AD于H．求出AD、BH即可解决问题；
③分两种情形a、如图③中，当AB=AD时，作AH⊥BD于H．b、如图④中，当DA=DB时，分别求解即可；

解答 （1）证明：如图1中，

∵△ADE∽△CDA，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{DE}{AD}$，
∴AD²=DE•DC，
∵BD=DE，
∴AD²=BD•DC，
∴AD为△ABC的角分中项线．

解：（2）①延长DB使得DE=DC．，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．

∵AD²=BD•DC=BD•DE，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DE}{AD}$，
∵∠ADB=∠ADE，
∴△ADB∽△EDA，
∴∠DAB=∠E=∠CAD，∵∠C=∠C，
∴△ACD∽△ECA，
∴$\frac{AC}{EC}$=$\frac{CD}{AC}$，
∴AC²=CD•CE=2CD²，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\sqrt{2}$，
∵$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BD}{DC}$=$\frac{\frac{1}{2}•AB•DM}{\frac{1}{2}•AC•DN}$，
∵DM=DN，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{AC}{CD}$=$\sqrt{2}$．

②如图②-1中，作BH⊥AD于H．

∵BD=2，AB=$\sqrt{2}$BD，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
在Rt△ABH中，∵∠BAH=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴BH=$\sqrt{2}$，AH=$\sqrt{6}$，
在Rt△BHD中，DH=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AD=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$•AD•BH=$\frac{1}{2}$•（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）•$\sqrt{2}$=$\sqrt{3}$+1．

③如图③中，当AB=AD时，作AH⊥BD于H．

∵AB=AD=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{2}$BD，
∴BD=1，
∵AD²=BD•DC，
∴CD=2，
在Rt△AHD中，AH=$\sqrt{A{D}^{2}-H{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
在Rt△ACH中，AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{7}}{2}）^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
如图④中，当DA=DB时，

由题意AD=BD=$\sqrt{2}$，AB=2，
∵AD²=BD•DC，
∴DC=$\sqrt{2}$，
∵AB²=4，AD²+BD²=4，
∴AB²=BD²+AD²，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵BD=DC，
∴AC=AB=2．

点评 本题考查相似三角形综合题、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．