Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，$sinA=\frac{2}{3}$，点D、E分别在AB、AC上，DE⊥AC，垂足为点E，DE=2，DB=9，求
（1）BC的长；
（2）cos∠BCD．

Answer 1

分析 （1）由三角函数求出AD，DCAB，再由三角函数求出BC即可；
（2）由勾股定理求出AC，得出CE，由勾股定理求出CD，由三角函数求出cos∠CDE，由平行线的性质得出∠CDE=∠BCD，即可得出结果．

解答 解：（1）在Rt△DEA中，
∵DE=2，sinA=$\frac{2}{3}$，
∴$AD=\frac{DE}{sinA}=2×\frac{3}{2}=3$，
∴AB=BD+AD=12，
在Rt△ABC中，AB=12，sinA=$\frac{2}{3}$
∴$BC=AB•sinA=12×\frac{2}{3}=8$；
（2）在Rt△ABC中，AB=12，BC=8，
由勾股定理得：$AC=4\sqrt{5}$，
在Rt△DEA中，DE=2，AD=3
∴$AE=\sqrt{5}$，
∴$CE=4\sqrt{5}-\sqrt{5}=3\sqrt{5}$，
∴CD=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=7，
在Rt△DEC中，$cos∠CDE=\frac{DE}{CD}=\frac{2}{7}$，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠BCD
∴$cos∠BCD=cos∠CDE=\frac{2}{7}$．

点评 本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角函数；熟练掌握解直角三角形，并能进行推理计算是解决问题的关键．