Question

12．如图，点A（1，$\sqrt{3}$），直线l：y=-$\sqrt{3}$x，射线AM、AN分别交x轴负半轴，直线l于点M，N，∠MAN=60°，则△OMN的面积为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由点A的坐标特点和勾股定理得出OA=2，∠AOM=∠AON=120°，由已知条件得出∠ONA=∠OAM，即可得出△OAN∽OMA，得出OA：OM=ON：OA，设N（b，-$\sqrt{3}$b），M（-a，0），从而求得ab=2，然后根据三角形面积根式即可求得．

解答 解：∵点A的坐标为A（1，$\sqrt{3}$），
∴OA=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，∠1=60°，
∵直线l：y=-$\sqrt{3}$x，
∴∠2=60°，
∴∠AOM=∠AON=120°，
∴∠OAN+∠ONA=60°，
∵∠MAN=60°，
∴∠ONA=∠OAM，
∴△OAN∽OMA，
∴OA：OM=ON：OA，
∴OA²=OM•ON，
设N（b，-$\sqrt{3}$b），M（-a，0），
∴ON=2b，OM=a，
∴a•2b=4，
∴ab=2，
∴S_△MON=$\frac{1}{2}$•a•$\sqrt{3}$b=$\sqrt{3}$；
故答案为$\sqrt{3}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、三角形面积等；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．