Question

已知：关于x的一元二次方程mx²-（m+3）x+3=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，设方程的两个整数根分别为p，q（p＜q），求点P（p，q）的坐标；
（3）在（2）的条件下，分别在y轴和直线y=x上取点M、N，使△PMN的周长最小，求△PMN的周长．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,解一元二次方程-公式法,根的判别式

专题：

分析：（1）利用根的判别式列出不等式，然后求解即可；
（2）利用求根公式法表示出方程的两个根，再根据x是整数、m是正整数求出p、q，然后写出坐标即可；
（3）取点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线y=x的对称点P″，根据轴对称确定最短路线问题，连接P′P″与y轴的交点即为点M，与直线y=x的交点即为点N，利用勾股定理列式求出P′P′，即为△PMN的周长最小值．

解答：（1）解：∵关于x的一元二次方程mx²-（m+3）x+3=0有两个不相等的实数根，
∴△=[-（m+3）]²-4m×3=m²-6m+9=（m-3）²，m≠0，
∵△＞0，
∴m≠3，
即m的取值范围为m≠0且m≠3；

（2）解：由求根公式，得x=

(m+3)±(m-3)

2m

，
∴x₁=1，x₂=

3

m

，
∵m为正整数，方程根为整数，
∴m=1，m=3，
∵m≠3，
∴m=1，
∴x=2+1=3，
∵p＜q，
∴p=1，q=3，
∴P（1，3）；

（3）作点P关于y轴的对称点P′，
∴P′（-1，3），
作点P关于直线y=x的对称点P″，
∴P″（3，1），
连接P′P″，与y轴和直线y=x的交点分别是点M、N，
即△PMN的周长最小，
由勾股定理得，P′P″=

[3-(-1)]2+(3-1)2

=2

5

，
即△PMN的周长最小值为2

5

．

点评：本题考查了利用求根公式法解一元二次方程，根的判别式，利用轴对称确定最短路线问题，（2）判断出m的值是解题的关键，（3）难点在于确定出点M、N的位置．