题目内容

已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0）、B（4，0），抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
（3）若m＞
3
2
，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜
5
2
）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得首位依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：代数几何综合题,压轴题,待定系数法
分析：（1）待定系数法求解析式即可，求得解析式后转换成顶点式即可．
（2）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以-1＜m＜0，或3＜m＜4．
（3）左右平移时，使A′D+DB″最短即可，那么作出点C′关于x轴对称点的坐标为C″，得到直线P″C″的解析式，然后把A点的坐标代入即可．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）过点A，B，
∴
a-b-2=0
16a+4b-2=0
，
解得：
a=
1
2
b=-
3
2
，
∴抛物线的解析式为：y=
1
2
x2-
3
2
x-2；
∵y=
1
2
x2-
3
2
x-2=
1
2
（x-
3
2
）2-
25
8
，
∴C（
3
2
，-
25
8
）．

（2）如图1，以AB为直径作圆M，则抛物线在圆内的部分，能使∠APB为钝角，
∴M（
3
2
，0），⊙M的半径=
5
2
．

∵P′是抛物线与y轴的交点，
∴OP′=2，
∴MP′=
OP2+OM2
=
5
2
，
∴P′在⊙M上，
∴P′的对称点（3，-2），
∴当-1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．

（3）存在；
抛物线向左或向右平移，因为AB、P′C′是定值，所以A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短，只要AC′+BP′最小；
第一种情况：抛物线向右平移，AC′+BP′＞AC+BP，
第二种情况：向左平移，如图2所示，由（2）可知P（3，-2），

又∵C（
3
2
，-
25
8
）
∴C'（
3
2
-t，-
25
8
），P'（3-t，-2），
∵AB=5，
∴P″（-2-t，-2），
要使AC′+BP′最短，只要AC′+AP″最短即可，
点C′关于x轴的对称点C″（
3
2
-t，
25
8
），
设直线P″C″的解析式为：y=kx+b，
-2=(-2-t)k+b
25
8
=(
3
2
-t)k+b
，
解得
k=
41
28
b=
41
28
t+
13
14

∴直线y=
41
28
x+
41
28
t+
13
14
，
点A在直线上，
∴-
41
28
+
41
28
t+
13
14
=0
∴t=
15
41
．
故将抛物线向左平移
15
41
个单位连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短．
点评：本题考查了待定系数法求解析式，顶点坐标，二次函数的对称性，以及距离之和最小的问题，涉及考点较多，有一定的难度．
练习册系列答案
相关题目
若代数式x2+ax+16是一个完全平方式，则a=
 
．
下列计算正确的是（　　）
A、
(-4)2
=2
B、（
2
）2=4
C、
2
×
5
=
10
D、
6
÷
2
=3
如图，∠A，∠D为直角，AC与DB相交于点E，BE与EC相等，在图中找出两对全等三角形并说明理由．
（1）计算：(
1
2
)-1+(5+
3
)0-2sin45°+
1
2
+1
；
（2）先化简，再求值：(1-
1
a+1
)÷
a2-a
a+1
，其中a=
1
2
．
计算：-
1
6
×[2-（-3）2]-13．
已知：关于x的一元二次方程mx2-（m+3）x+3=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
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（3）在（2）的条件下，分别在y轴和直线y=x上取点M、N，使△PMN的周长最小，求△PMN的周长．
在矩形ABCG中，点D是AG的中点，点E是AB上一点，DE⊥DC，CE交BD于F，
（1）求证：ED平分∠AEC；
（2）当∠BEC=60°，且AE=1时，求矩形ABCG的面积；
（3）当BE=BC，求证：BD平分∠CDE．
分解因式：16m4-9n2．

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