Question

12．已知过点（1，-1）的直线y=kx+b（k≠0）不经过第一象限，设m=k²-$\frac{2}{3}$b，则m的取值范围是$\frac{5}{9}$≤m≤1．

Answer 1

分析 先利用一次函数图象上点的坐标特征得到b=-k-1，再利用一次函数与系数的关系得到k＜0，b≤0，则k的范围为-1≤k＜0，接着用k表示m，然后根据二次函数的性质求m的范围．

解答 解：把（1，-1）代入y=kx+b得k+b=-1，b=-k-1，
因为直线y=kx+b（k≠0）不经过第一象限，
所以k＜0，b≤0，即-k-1≤0，
所以k的范围为-1≤k＜0，
因为m=k²-$\frac{2}{3}$b=k²-$\frac{2}{3}$（-k-1）=k²+$\frac{2}{3}$k+$\frac{2}{3}$=（k+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{5}{9}$，
k＜-$\frac{1}{3}$，m随k的增大而减小，
所以当k=-$\frac{1}{3}$时，m有最小值，最小值为$\frac{5}{9}$；k=-1时，m有最大值，最大值为（-1+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{5}{9}$=1，
所以m的范围为$\frac{5}{9}$≤m≤$\frac{7}{3}$．
故答案为$\frac{5}{9}$≤m≤1．

点评 本题考查了一次函数与系数的关系：对于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k＞0，b＞0?y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0?y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0?y=kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0?y=kx+b的图象在二、三、四象限．解决本题的关键是用k表示出m．