Question

19．已知AB是⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为点P，过B点的直线与线段AB的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．

（1）如图1，求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）如图2，当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）欲证明直线BF是⊙O的切线，只要证明∠ABF=90°．
（2）结论四边形AEBF是平行四边形，只要证明AE∥BF，AF∥BE即可．

解答 （1）证明：如图1中，∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，
∴∠ABF=∠CPB，
∵CD⊥AB，
∴∠ABF=∠CPB=90°，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）结论：四边形AEBF是平行四边形．
证明：如图2中，连接AC、BD．
∵OA=OB，
∴OC=OD，
∴四边形ACBD是平行四边形
∴AD∥BC，
即AF∥BE，
又∵AE切⊙O于点A，
∴AE⊥AB，
同理BF⊥AB，
∴AE∥BF，
∴四边形AEBF是平行四边形．

点评 本题考查切线的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．